Flujo de película de nanolíquido de Casson sobre una superficie en movimiento inestable con el tiempo

Scientific Reports volumen 13, Número de artículo: 4074 (2023) Citar este artículo

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El presente estudio explica el flujo inestable de la película nanolíquida de Casson sobre una superficie que se mueve con velocidad \(U_w=\lambda x/t\). La ecuación de impulso gobernante se reduce a ODE mediante el uso de la transformación de similitud correspondiente, que luego se aborda mediante el empleo de técnicas numéricas. El problema se analiza tanto para el flujo de película bidimensional como para el flujo de película axisimétrico. Se obtiene la solución exacta que satisface la ecuación gobernante. Se observa que la solución existe solo para una escala específica del parámetro de superficie móvil \(\lambda\). es decir, \(\lambda \ge -1/2\) para flujo bidimensional y \(\lambda \le -1/4\) para flujo axisimétrico. La velocidad aumenta primero y alcanza la velocidad máxima y luego disminuye a la condición de contorno. Las líneas de corriente también se analizan para patrones de flujo tanto axisimétricos como bidimensionales considerando las condiciones de estiramiento (\(\lambda >0\)) y contracción de la pared (\(\lambda <0\)). Se han realizado estudios para valores grandes del parámetro de movimiento de paredes \(\lambda\). El objetivo de esta investigación es analizar el flujo de película nanolíquida de Casson, la cual encuentra aplicaciones en industrias como recubrimiento de lámina o alambre, laboratorios, pintura, muchas más.

Con el fin de comprender y diseñar varios intercambiadores de calor y maquinaria de procesamiento industrial, es crucial comprender el flujo y la transmisión de calor dentro de una capa líquida delgada. Revestimiento de alambre y fibra, procesamiento de polímeros, fluidización de reactores, enfriamiento por evaporación, procesamiento de alimentos y otros usos comunes son algunas de las aplicaciones. La fabricación de láminas poliméricas, papel, linóleo, componentes de aisladores, tejas para techos, matas de fibras finas, capas límite a lo largo de películas líquidas en técnicas de condensación, etc. necesitan el procesamiento térmico de componentes tipo lámina1. A menudo, la hoja se mueve a lo largo de su propio plano durante dichos procedimientos de procesamiento. El fluido al lado de la hoja en movimiento puede moverse independientemente de ella o alternativamente, el fluido puede moverse paralelo al movimiento de la hoja debido a la convección forzada. Una superficie extruida de alta calidad es el objetivo de cada procedimiento de extrusión. Para una mejor calidad del producto, es crucial regular el flujo de energía y arrastre. Debido a la enorme capacidad de los nanofluidos para emplearse como instrumentos técnicos en varios campos de la ingeniería, un número cada vez mayor de investigadores presta ahora atención a examinar el flujo laminar de una fina capa de líquido a través de una lámina estirada. En vista de todas las aplicaciones anteriores, Sparrow y Gregg2 inicialmente investigaron el problema de la condensación de película laminar en una placa vertical empleando la teoría del flujo de la capa límite y las transformaciones de similitud. Luego ampliaron el trabajo para analizar la transmisión de calor y masa en una película líquida sobre un disco giratorio3. Wang4 examinó la fusión de un disco giratorio horizontal y el sistema no lineal de ecuaciones se abordó mediante el empleo de la técnica de perturbación. Dandapat y Ray5,6 investigaron la capilaridad térmica y los impactos de enfriamiento en una delgada lámina líquida sobre un disco giratorio. Wang7 fue el primero en tener en cuenta la hidrodinámica de una fina capa de líquido en una lámina estirada después de emplear la transformación de similitud para convertir las inestables ecuaciones de Navier-Stokes en ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales. Con la revisión de diferentes condiciones límite térmicas y de velocidad, el trabajo de Wang fue desarrollado por otros investigadores, incluidos Usha y Sridharan8, Chen9,10, Andersson et al.11, Abbas et al.12, Liu y Andersson13,14, Wang15 y Dandapat et al. al.16,17,18. Mahabaleshwar et al.19,20 analizaron un fluido newtoniano eléctricamente conductor que fluye a través de una lámina superlineal que se estira/encoge con MHD. Jitendra et al.21 examinaron el flujo laminar de la capa límite magnética hidrodinámica no lineal de un fluido viscoso e incompresible que pasa por una lámina porosa que se estira con succión/inyección.

El alcance de los estudios antes mencionados fue únicamente el flujo laminar de fluidos newtonianos (puros). Sin embargo, en los últimos tiempos, la comunidad científica y de ingeniería se ha interesado por los nanofluidos (término acuñado por Choi22) debido a sus usos industriales. Debido a las distintas características físicas y químicas que tienen los materiales a nanoescala, la nanotecnología es una nueva disciplina con una amplia aplicación en los negocios. En estos fluidos están presentes suspensiones coloidales de diversos materiales, óxidos, metálicos y no metálicos, carburo de silicio o nanotubos de carbono en un fluido base. El etilenglicol y el agua son fluidos base típicos. Numerosos procesos de transferencia de calor, como los de las pilas de combustible, la microelectrónica, la fabricación de productos farmacéuticos y los motores híbridos, pueden beneficiarse de las características de los nanofluidos. En comparación con los fluidos base, exhiben mejores coeficientes de transferencia de calor y conductividades térmicas. Debido a esto, los nanofluidos se prefieren con frecuencia a los refrigerantes tradicionales, como los aceites hechos de agua y etilenglicol. El último trabajo de Das et al.23 y los artículos de revisión de Ding et al.24, Buongiorno25, Wang y Mujumdar26,27, Daungthongsuk y Wongwises28, Kakaç y Pramuanjaroenkij29 proporcionan referencias completas sobre nanofluidos. Se puede lograr una mayor conductividad térmica en los sistemas térmicos usando nanofluidos, ver Eastman et al.30 y Xie et al.31. Kumari y Nath32 investigaron la película MHD inestable en un disco en rotación continua. Mahabaleshwar33 consideró el problema de la hoja de estiramiento lineal en un dominio poroso con succión. Trabajos recientes sobre el flujo de nanofluidos híbridos sobre diferentes geometrías han sido reportados en 34,35,36,37,38,39,40,41,42,43,44,45.

El objetivo de esta investigación es aplicar el modelo matemático de nanofluidos para analizar la película inestable de nanolíquidos de casson formada por una velocidad de estiramiento lineal a través de una superficie en movimiento. En este artículo, consideramos la velocidad de la pared como \(U_w=\lambda x/t\). El modelo se expresa, analiza y resuelve numéricamente en las partes que siguen. Los hallazgos más importantes se presentan gráficamente y se explican tanto para casos axisimétricos como bidimensionales.

Consideremos el flujo laminar incompresible del nanofluido de Casson sobre una hoja plana que se mueve inestablemente y que se mueve con velocidad \(u_w(x, 0, t)\). Se supone que la película de fluido es estable y tiene un espesor fijo h(t) en la superficie y permanece plana en todo momento. Suponiendo que la presión del gas ambiental sea \(p_0\), la película se considera como una superficie libre con gas ambiental en la interfaz. La pared se considera permeable, lo que da \(v_w(x,0, t)=v_w\). El sistema de coordenadas cartesianas se elige de modo que se considere que el eje x está a lo largo de la placa y el eje y es ortogonal a él, como se muestra en la Fig. 1. Las ecuaciones de Navier-Stokes gobernantes46 de este problema considerado toman la forma

Representación esquemática del problema.

expuesto a las limitaciones

donde u y v especifican los componentes de velocidad en las direcciones x e y, \(\nu\) denota la viscosidad cinemática, \(\rho\) denota la densidad, p denota la presión del fluido, \(B_0\) especifica la presión aplicada intensidad del campo magnético aplicado con un ángulo de inclinación \(\alpha\). \(\epsilon =0\) especifica el flujo bidimensional y \(\epsilon =1\) especifica el patrón de flujo axisimétrico en las ecuaciones gobernantes. Consideremos la velocidad de la pared en movimiento inestable como \(U_w=\frac{\lambda {t}x\) donde \(\lambda\) es un número real. Como no hay diferencia de presión en la dirección x a lo largo de la interfaz, el campo de presión depende solo de y y t para la configuración de flujo considerada. Las ecuaciones gobernantes. (1) a (3) se pueden modificar a ecuaciones de similitud definiendo la función de flujo y la variable de similitud46 como:

Entonces las componentes de la velocidad toman la forma \(u=\frac{1}{x^\epsilon }\frac{\partial \psi }{\partial y}=\frac{x f''(\eta )}{ t}\) y \(v=-\frac{1}{x^\epsilon }\frac{\parcial \psi }{\parcial x}=-(1+\epsilon )\sqrt{\frac{\nu {t}}f(\eta)\). La expresión para el campo de presión se puede reducir a:

La viscosidad y la densidad efectivas de los nanofluidos se pueden expresar como47

Usando estos, las ecuaciones gobernantes se reducen como

donde, \(A=\frac{1}{(1-\phi )^{2.5}\left[ 1-\phi +\phi \frac{\rho _{s}}{\rho _{f}} \right] }\) y las restricciones de contorno correspondientes se convierten en

donde \(\beta\) denota el espesor no dimensional de la película, \(\lambda\) se conoce como el parámetro de movimiento de la pared en el que \(\lambda >0\) designa el estiramiento y \(\lambda <0\ ) designa encogimiento. El espesor de la película h(t) se evidencia como \(h(t)=\beta \sqrt{\nu t}\). Comparando la velocidad vertical superficial \(h'(t)=\frac{\beta \sqrt{\nu }}{2\sqrt{t}}=-(1+\epsilon )\sqrt{\frac{\nu } {t}}f(\eta )\) da una restricción límite más \(f(\beta )=-\frac{\beta }{2(1+\epsilon )}\). La transformación \(f(\eta )=\beta F(\frac{\eta }{\beta })=\beta F(\xi )\) se usa para simplificar los cálculos, lo que da

expuesto a las limitaciones

Como no podemos obtener las soluciones exactas de las Ecs. (9) y (10) analíticamente, se requiere utilizar técnicas numéricas para la solución del problema. Aquí hemos utilizado el código bvp4c MATLAB que utiliza el procedimiento del método de diferencias finitas para abordar las ecuaciones de similitud para varios parámetros de flujo. Las soluciones numéricas obtenidas se discuten y analizan en las secciones "Soluciones numéricas" y "Análisis del comportamiento de soluciones para λ grande".

Para analizar la característica del comportamiento de la solución, integrando una vez la ecuación de semejanza, obtenemos la expresión como:

Imponer la condición de frontera en \(\xi =0\) da \(C_1=F''(0)\). Nuevamente, aplicando las restricciones de contorno en \(\xi =1\) y reordenando los términos se obtiene

Integrando aún más esta expresión se obtiene

Gráficos de F, \(F_{\xi }\) y \(F_{\xi \xi }\) variando \(\lambda\) (pared de extensión \(\lambda >0\)) en el caso axisimétrico.

Gráficas de F, \(F_{\xi }\) y \(F_{\xi \xi }\) variando \(\lambda\) (pared de extensión \(\lambda >0\)) en el modelo bidimensional caso.

Gráficas de F, \(F_{\xi }\) y \(F_{\xi \xi }\) variando \(\lambda\) (pared que se encoge \(\lambda <0\)) en el modelo bidimensional caso.

Gráficas de F, \(F_{\xi }\) y \(F_{\xi \xi }\) variando \(\lambda\) (pared que se encoge \(\lambda <0\)) en el caso axisimétrico.

Los resultados del presente estudio se analizan considerando el nanofluido en el que el fluido base es agua y nanopartículas de óxido de aluminio. Las soluciones para varios parámetros de movimiento de paredes \(\lambda\) se presentan gráficamente en las Figs. 2, 3, 4, 5. Las Figuras 2 y 3 muestran las gráficas de F, \(F_{\xi }\) y \(F_{\xi \xi }\) para la condición del muro estirado (\(\lambda >0 \)) con fluido base y con nanofluidos para casos axisimétricos y bidimensionales. La condición de contracción de la pared se investiga en la Fig. 4. Se puede observar que F y \(F_\xi\) muestran una mayor magnitud pero \(F_{\xi \xi }\) muestran una menor magnitud con los nanofluidos en comparación con los fluidos convencionales . Podemos observar que para \(\lambda >0\), los gráficos de velocidad de la condición de la pared estirada muestran una naturaleza creciente al aumentar la separación de la pared y, a medida que el valor de \(\lambda\) aumenta, la velocidad aumenta. Las gráficas de \(F_{\xi \xi }\) muestran un comportamiento monótonamente decreciente con el aumento de \(\lambda\) tanto para casos bidimensionales como axisimétricos. Podemos notar las magnitudes más altas de F, \(F_{\xi }\) y \(F_{\xi \xi }\) para los nanofluidos.

De las figs. 4 y 5, podemos observar que para \(\lambda <0\), la condición de contracción de la pared, tanto F como \(F_{\xi }\) muestran una naturaleza decreciente pero \(F_{\xi \xi }\) muestra una naturaleza creciente. comportamiento con \(\lambda\) decreciente. Podemos notar el punto de intersección en las gráficas de \(F_{\xi }\) cerca de \(\xi =0.5\). El comportamiento es similar tanto para los casos bidimensionales como para los axisimétricos y solo difiere con la magnitud como se puede observar en las figuras. Aquí también podemos notar las magnitudes más altas de F, \(F_{\xi }\) y \(F_{\xi \xi }\) para nanofluidos.

Para un análisis más detallado del patrón de flujo, la función de flujo se define como \(\psi =\sqrt{\frac{1}{t}}x^{1+\epsilon }f\left( \frac{y}{\sqrt{ t}}\right)\) y las líneas de corriente se trazan como se presenta en las Figs. 6, 7, 8 en diferentes situaciones con unidades estándar para cantidades físicas. Se supone que la viscosidad cinemática es la unidad por el bien de la discusión de los resultados sin pérdida de generalidad. La Figura 6A presenta el campo de flujo en la película líquida bidimensional con pared de estiramiento (\(\lambda >0\)) en diferentes pasos de tiempo \(t=1\) y \(t=5\). Podemos ver que el fluido se mueve hacia la izquierda y tiene una línea de corriente con velocidad cero que crea dos partes en la región de flujo. En la región de la parte inferior, el fluido comienza a moverse hacia el lado derecho. Para el caso axisimétrico, podemos observar que el flujo se ha desplazado a la región inferior, como se muestra en la Fig. 6B. Los patrones de flujo en este caso son casi similares a los del caso bidimensional. Podemos notar las líneas de corriente densas en la coordenada x más alta. Para la pared de contracción (\(\lambda =-0.2\)), los campos de flujo se presentan en las Figs. 7A y B en diferentes pasos de tiempo \(t=1\) y \(t=5\) para casos 2D y axisimétricos respectivamente. Las líneas de corriente están orientadas en un orden uniforme y todo el fluido fluye en la dirección izquierda. El espesor de la película aumenta con el tiempo de crecimiento. Las Figuras 8A y B muestran el campo de flujo cuando la pared está en reposo (es decir, \(\lambda =0\)) en intervalos de tiempo variables \(t=1\) y \(t=5\) respectivamente para flujo 2D y axisimétrico patrones. En esta situación particular, la pared no se mueve y el fluido de la película se mueve hacia la izquierda.

Líneas aerodinámicas del flujo de la película para intervalos de tiempo variables \(t=1\) y \(t=5\) para patrones de flujo de estiramiento bidimensional y axisimétrico (\(\lambda =2\)).

Líneas aerodinámicas del flujo de la película para intervalos de tiempo variables \(t=1\) y \(t=5\) para patrones de flujo de contracción bidimensional y axisimétrica (\(\lambda =-0.2\)).

Líneas aerodinámicas del flujo de la película para intervalos de tiempo variables \(t=1\) y \(t=5\) para patrones de flujo bidimensionales y axisimétricos de pared constante (\(\lambda =0\)).

Para valores grandes de \(\lambda\), hay un patrón particular de \(F_{\xi \xi }\). Por lo tanto, para tener más intuición sobre el comportamiento de la solución para escalas más altas de A, se realizó un análisis extenso. Al expresar \(F=\lambda \phi (\xi )\) y usar esto en la ecuación. (10), obtenemos

asociado con las restricciones de contorno

Si \(\lambda\) es suficientemente grande, el término \(\frac{\xi }{2}\phi _{\xi \xi }+\phi _\xi\) se vuelve insignificante cuando se compara con \(\lambda (1+\epsilon )\phi \phi _{\xi \xi } -\lambda \phi _\xi ^2\). Para incluir o excluir \(\phi _{\xi \xi \xi }\), simplifiquemos la ecuación. (15) aproximando \(\beta\) como \(\beta ^2=\sigma ^2\lambda ^\alpha A\left( 1+\frac{1}{\Gamma }\right)\) suponiendo grande \(\lambda\) y \(\alpha <0\). Usando esto en la Ec. (15), nos quedamos en

sujeto a las restricciones de frontera

Basado en el valor de \(\alpha\), Eq. (17) se puede reducir a varias ecuaciones. Si \(-1<\alpha <0\), para una escala mayor de \(\lambda\), Eq. (17) toma la forma

La solución general para la Ec. (19) se puede obtener como

Esta solución no satisface dos de las condiciones de contorno (18). Por lo tanto, \(-1<\alpha <0\) no es una suposición adecuada. Si \(\alpha <-1\), Eq. (17) se convierte en

Obtenemos la función parabólica como solución general de esta dada por

que no puede satisfacer ninguna de las dos condiciones de contorno. Una opción aceptable es suponer \(\alpha =-1\) con Eq. (17) se convierte en

Se ha examinado el flujo de la película de nanolíquido Casson a través de una pared en movimiento inestable con una velocidad superficial descrita específicamente. Las expresiones reguladoras de Navier-Stokes se modifican en una EDO de similitud con funciones de velocidad predefinidas. Las expresiones de similitud resultantes se abordan luego numéricamente. Se observan varias características de velocidad y esfuerzo cortante en las dos direcciones de flujo diferentes, mientras que la velocidad exhibe una desviación monótona sin puntos de cruce por cero. Sin embargo, el esfuerzo cortante exhibe una naturaleza no monótona en muchas de las restricciones. El campo de flujo muestra que para estirar la pared, el fluido se mueve hacia la izquierda y tiene una línea de corriente con velocidad cero que crea dos partes en la región de flujo. En la región de la parte inferior, el fluido comienza a moverse hacia el lado derecho. Para el caso axisimétrico, podemos observar que el flujo se ha desplazado a la región inferior. Para la contracción de la pared, las líneas de corriente se orientan en el mismo orden y todo el fluido fluye en la dirección izquierda.

Todos los datos generados o analizados durante este estudio se incluyen en este artículo publicado [y sus archivos de información complementarios].

Aceleración de la gravedad (\(\text {ms}^{-2}\))

Espesor de la película de fluido (\(\text {m}\))

Tiempo (\(\texto {s}\))

Presión de fluido (\(\text {Pa}\))

Presión de gas ambiente (Pa)

Velocidad a lo largo de la dirección x (\(\text {ms}^{-1}\))

Velocidad de movimiento de la superficie (\(\text {ms}^{-1}\))

Velocidad a lo largo de la dirección y (\(\text {ms}^{-1}\))

Ejes de coordenadas

Densidad del fluido (\(\text {kgm}^{-3}\))

Espesor de película adimensional

Función de corriente

Parámetro de fluido Casson

Viscosidad cinemática (\(\text {Pas}^{-1}\))

Parámetro de configuración de flujo

Parámetro de movimiento de pared

variable de similitud

fracción de volumen de nanopartículas

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Descargar referencias

Este trabajo fue apoyado por el Proyecto No. 129257 implementado con el apoyo brindado por el Fondo Nacional de Investigación, Desarrollo e Innovación de Hungría.

Financiamiento de acceso abierto proporcionado por la Universidad de Miskolc.

Departamento de Matemáticas, Institución de Tecnología Siddaganga, Tumkur, Karnataka, India

GP vanita

Departamento de Estudios e Investigación en Matemáticas, Universidad de Tumkur, Tumakuru, Karnataka, 572103, India

KC Shobha y B. Patil Mallikarjun

Departamento de Matemáticas, Universidad de Davanagere, Davanagere, Karnataka, India

Estados Unidos Mahabaleshwar

Instituto de Diseño de Máquinas y Productos, Universidad de Miskolc, Miskolc, 3515, Egyetemváros, Hungría

gabriella bognar

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KCS y GPV: Conceptualización, del problema, modelado y resuelto el problema, modelado y resuelto el problema, Análisis formal, Trazado de los resultados gráficos, redacción-borrador original, también contribuyó en modelado y resuelto el problema, programación en MatLab y Mathematica. BPM, USM, GB: redacción-revisión y edición, validación de los resultados, todos los autores finalizaron el manuscrito después de su evaluación interna.

Correspondencia a Gabriella Bognár.

Los autores declaran no tener conflictos de intereses.

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Reimpresiones y permisos

Vanitha, GP, Shobha, KC, Mallikarjun, BP et al. Flujo de película de nanolíquido de Casson sobre una superficie en movimiento inestable con una velocidad de estiramiento variable en el tiempo. Informe científico 13, 4074 (2023). https://doi.org/10.1038/s41598-023-30886-4

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Recibido: 01 Octubre 2022

Aceptado: 02 de marzo de 2023

Publicado: 11 de marzo de 2023

DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-023-30886-4

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